Parcurgerea

Rezolvarea multor probleme de grafuri, presupune parcurgerea lor de la un anumit nod. Pentru explorarea grafurilor, exista doua tipuri de algoritmi: de explorarea in latime si de explorare in adancime.

Explorarea grafurilor in latime

La explorarea in latime, dupa vizitarea nodului initial, se exploreaza toate nodurile adiacente lui, se trece apoi la primul nod adiacent si se exploreaza toate nodurile adiacente acestuia si neparcurse inca, s.a.m.d.

Fiecare nod se parcurge cel mult odata (daca graful nu este conex nu se vor putea parcurge toate nodurile)

De exemplul pentru garful din figura de mai jos, se va proceda in felul urmator:

se porneste din nodul 1, (se poate incepe de la oricare alt nod)

se exploreaza in vontinuare vecinii acestuia : nodul 2 si apoi 4,

se obtine 1,2,4

 

dupa care din 2 se exploreaza nodul adiacent acestuia 3. Nodul 1 nu se mai viziteaza odata

se obtine 1,2,4,3

In continuare ar trebui parcursi vecinii lui 4 (1,2,4,3 ) dar acesta nu mai are vecini nevizitati si se trece la vecinii lui 3 : 1,2,4,3 respectiv nodul 5 :

se obtine 1, 2, 4, 3, 5

Nodul 6 ramane neparcurs

Algoritmul

Se va folosi o coada in care se inscriu nodurile in forma in care sunt parcurse: nodul initial varf (de la care se porneste), apoi nodurile a,b,..., adiacente lui varf, apoi cele adiacente lui a, cele adiacente lui b,... ,s.a.m.d.

Coada este folosita astfel:
- se pune primul nod in coada;
- se afla toate varfurile adiacente cu primul nod si se introduc dupa primul nod
- se ia urmatorul nod si i se afla nodurile adiacente
- procesul se repeta pana cand se ajunge la sfarsitul cozii

-Graful se va memora utilizand matricea de adiacenta a[10][10]

-pentru memorarea succesiunii nodurilor parcurse se va folosi un vector c[20] care va functiona ca o coada

-pentru a nu parcurge un nod de doua ori se va folosi un vector boolean viz[20] care va retine :

- viz[k]=0 daca nodul k nu a fost vizitat inca

- viz[k]=1 daca nodul k a fost vizitat

-doua variabile : prim si ultim vor retine doua pozitii din vectorul c si anume :

- prim este indicele componentei pentru care se parcurg vecinii (indexul componentelor marcate cu rosu in sirurile parcurse anterior ). Prin urmare Varf=c[prim], este elementul pentru care se determina vecinii (nodurile adiacente)

-ultim este pozitia in vector pe care se va face o noua inserare in vectorul c (evident, de fiecare data cand se realizeaza o noua inserare se mareste vectorul)

-vecinii nodului varf se  cauta  pe linia acestui varf : daca a[varf][k]=1 inseamna ca nodurile varf si k sunt adiacente. Pentru ca nodul k sa fie adaugat in coada trebuie ca nodul sa nu fi fost vizitat : viz[k]=0

 

#include<fstream.h>

#include<conio.h>

 

int a[10][10],c[20],viz[10];

int n,m,prim,ultim,varf;

 

void bf_iterativ() //parcurgerea in latime

{int k;

while(prim<=ultim)

{varf=c[prim];

for(k=1;k<=n;k++)

if(a[varf][k]==1&&viz[k]==0) //il adaug pe k in coada daca este vecin pt. varf si nu a fost vizitat

{ultim++;

c[ultim]=k;

viz[k]=1;}

prim++;

}

}

 

void main()

{clrscr();

int x,y;

fstream f; //memorare graf in matrice de adiacenta

f.open("muchii.txt",ios::in);

f>>n>>m;

for(int i=1;i<=m;i++)

{f>>x>>y;

a[x][y]=a[y][x]=1;

}

 

cout<<"matricea de adiac "<<endl; // afisare matrice de adiacenta

for( i=1;i<=n;i++)

{for(int j=1;j<=n;j++)

cout<<a[i][j]<<" ";

cout<<endl;

}

int nd;

prim=ultim=1;

cout<<"nodul de inceput=";

cin>>nd; // nodul de la care se porneste parcurgerea

viz[nd]=1;

c[prim]=nd;

bf_iterativ();

for(i=1;i<=ultim;i++) //afisarea cozii

cout<<c[i]<<" ";

getch();

}

 

Varianta recursiva de parcurgere se obtine modificand functia de parcurgere iterativa adaugand conditia necesara autoapelului:

 

void bf_recursiv() //parcurgerea in latime

{int k;

if(prim<=ultim)

{varf=c[prim];

for(k=1;k<=n;k++)

if(a[varf][k]==1&&viz[k]==0) //il adaug pe k in coada daca este vecin pt. varf si nu a fost vizitat

{ultim++;

c[ultim]=k;

viz[k]=1;}

prim++;

bf_recursiv();

}

}

 

Parcurgerea in latime a grafurilor memorate prin liste este similara cu diferenta ca vecinii unui nod adaugat in coada se cauta in lista corespunzatoare lui :

 

#include<conio.h>

#include<fstream.h>

struct nod

{int nd;

nod *next;};

 

nod *L[20];

int viz[100]; //marchez cu 1 nodurile vizitate

int m,n;

int prim,ultim,C[100];

 

void bfi_lis()

{int varf,nr;

nod *p;

while(prim<=ultim)

{varf=C[prim];

p=L[varf]; // se parcurge lista elementelor din varful cozii

while(p)

{nr=p->nd;

if(viz[nr]==0) //numai daca nu a fost vizitat

{ultim++; //maresc coada

C[ultim]=nr; //il adaug in coada

viz[nr]=1;}; //il marchez ca fiind vizitat

p=p->next;

}

prim++; //avansez la urmatorul nod din coada

}

}

 

 

void afisare(int nr_nod)

{nod *p=L[nr_nod];

if(p==0)

cout<<nr_nod<<" este izolat "<<endl;

else

{cout<<"lista vecinilor lui "<<nr_nod<<endl;

nod *c=p;

while(c)

{cout<<c->nd<<" ";

c=c->next;}

cout<<endl;}

}

 

void main()

{fstream f;

int i,j;

nod *p,*q;

f.open("muchii.txt",ios::in);

clrscr();

f>>n>>m;

 

 

while(f>>i>>j)

{p=new nod;

p->nd=j;

p->next=L[i];

L[i]=p;

q=new nod;

q->nd=i;

q->next=L[j];

L[j]=q;

}

 

f.close();

 

cout<<endl<<"listele de adiacente ";

 

for(i=1;i<=n;i++)

afisare(i);

 

int ndr;

cout<<endl<<"nodul de inceput ";

cin>>ndr;

viz[ndr]=1;

prim=ultim=1;

C[prim]=ndr;

cout<<endl<<"parcurgere in latime "<<endl;

bfi_lis();

for(i=1;i<=ultim;i++)

cout<<C[i]<<" ";

getch();

}

 

 

Functia recursiva :

void bfr_lis()

{int varf,nr;

nod *p;

if(prim<=ultim)

{varf=C[prim];

p=L[varf];// se parcurge lista elementelor din varful cozii

while(p)

{nr=p->nd;

if(viz[nr]==0)//numai daca nu a fost vizitat

{ultim++;//maresc coada

C[ultim]=nr;//il adaug in coada

viz[nr]=1;};//il marchez ca fiind vizitat

p=p->next;}

prim++; //avansez la urmatorul nod din coada

bfr_lis();

}

}

 

Aplicatii :

1.Sa se parcurga graful in latime pornind pe rand de la toate varfurile

2. Sa se determine daca pornind de la nodul x se poate ajunge la nodul y

3. Sa se determine daca se poate parcurge pornind de la un nod tot graful

4. Intre n firme sunt stabilite relatii de colaborare (se cunosc perechile de firme care colaboreaza). Sa se determine lungimea minima a lantului de intermediari pentru ca firma x sa colaboreze cu firma y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Ex pt x=6 si y =3 . O sulutie pt lantul de lungime minima va fi: 6 2 3. Lungimea este 2

 

5. Un graf neorientat este bipartit daca exista o partitie a multimii nodurilor in doua multimi A si B astfel incat oricare doua varfuri din aceeasi multime sa nu fie adiacente. Sa se scrie un program care verifica daca un graf este bipartit si in caz afirmativ sa se tipareasca multimile A si B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


In ex din figura o solutie este: A: 1, 4, 5

B: 2, 3, 6, 7,

 

O solutie de rezolvare porneste de la parcurgerea pe rand in latime o grafului incepand de la primul nod.

Se obtine o prima coada: c[1, 3, 7, 4, 2] apoi coada C=[5, 6, 8].

Pentru prima coada se parcurg elementele din c si se marcheaza s[c[k]] si s[c[j]] cu valori diferite (1 si -1 ) daca a[c[k]][c[j]]=1. Daca nu este posibil inseamna ca graful nu este bipartit. La fel se procedeaza si cu cea de a doua coada etc.

 

Se parcurge 1 care se marcheaza cu 1. Nodurile adiacente 3 si 7 se marcheaza cu -1.

Apoi 3 si care este adiacent cu 4. Deci se marcheaza 4 cu 1.

Pentru nodul 7 nu mai sunt noduri adiacente (doar 1 care a fost deja parcurs).

Se ajunge la nodul 4 care este vecin cu 2 . Se marcheaza 2 cu -1

 

La fel se procedeaza cu coada C=[5,6, 8]. Se marcheaza 5 cu 1 si 6 si 8 cu -1.

 

O solutie de implementare:

 

#include<fstream.h>

#include<conio.h>

 

 

int a[20][20],c[20],viz[20];

int s[20];

int n,m,prim,ultim,varf;

 

 

 

void bf_iterativ() //parcurgerea in latime

{int k;

while(prim<=ultim)

{varf=c[prim];

for(k=1;k<=n;k++)

if(a[varf][k]==1&&viz[k]==0) //il adaug pe k in coada daca este vecin pt. varf si nu a fost vizitat

{ultim++;

c[ultim]=k;

viz[k]=1;}

prim++;

}

}

 

 

 

void main()

{clrscr();

int x,y;

fstream f; //memorare graf in matrice de adiacenta

f.open("gg.txt",ios::in);

f>>n>>m;

for(int i=1;i<=m;i++)

{f>>x>>y;

a[x][y]=a[y][x]=1;

}

 

cout<<"matricea de adiac "<<endl; // afisare matrice de adiacenta

for( i=1;i<=n;i++)

{for(int j=1;j<=n;j++)

cout<<a[i][j]<<" ";

cout<<endl;

}

 

 

int nd,k;

int ok=1;

for(nd=1;nd<=n;nd++)

if(viz[nd]==0)

{for(k=1;k<=n;k++) //golesc coada si viz

{c[k]=0;

viz[nd]=0;

}

prim=ultim=1;

viz[nd]=1;

c[prim]=nd;

bf_iterativ();

cout<<endl;

for(int k=1;k<=ultim-1;k++)

for(int j=k+1;j<=ultim;j++)

if(a[c[k]][c[j]]==1)

if(s[c[k]]==0&&s[c[j]]==0)

{s[c[k]]=1;s[c[j]]=-1;}

else

if(s[c[k]]!=0&&s[c[j]]==0)

s[c[j]]=-1*s[c[k]];

else

if(s[c[k]]==s[c[j]]&&s[c[k]]!=0&&s[c[j]]!=0)

ok=0;

 

}

for(i=1;i<=n;i++)

cout<<s[i]<<" ";

cout<<endl;

if(ok==0)

cout<<"nu este bipartit";

else

{ cout<<"este bipartit\n";

cout<<"elementele nultimii 1"<<endl;

for(i=1;i<=n;i++)

if(s[i]==1)

cout<<i<<" ";

cout<<endl;

for(i=1;i<=n;i++)

if(s[i]==-1)

cout<<i<<" ";

}

getch();

}